求用反证法求证√3是无理数

Question

求用反证法求证√3是无理数

Answer 1

假设(√3)是有理数， ∵ 1＜3＜4 ∴(√1)＜(√3)＜(√4) 即：1＜(√3)＜2 ∴(√3)不是整数。 ∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数 ∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。 此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数) 两边平方，得： m² / n² = 3 ∴m² 是质数3的倍数 我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。 ∴由“m² (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。 此时不妨设 m = 3k(k为正整数) 把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ，得： (9k²) / n² = 3 ∴3k² = n² 即：n² / k² = 3 对比“m² / n² = 3“ 同理可证 正整数n也是3的倍数 ∴正整数m和n均为3的倍数 这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。 意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论， ∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)”是不成立的。 ∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数 而已证(√3) 不是整数 ∴(√3) 既 不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。 ∴(√3) 是无理数。