能否找到17个互不相同的正整数中找不到,使其中任意9个的和都不能被9整除.为什么不能.

Question

能否找到17个互不相同的正整数中找不到,使其中任意9个的和都不能被9整除.为什么不能.

Answer 1

例6．⑴ 能否找到16个互不相同的整数,使其中任意9个整数的和都不能被9整除；
⑵ 能否找到17个互不相同的正整数也满足此要求?
例如,其中8个被9除都余1,另8个数被9整除．这样的16个数中,任何9个都不能被9整除．
由于任取5个数,其中一定有3个数其和为3的倍数,取这5个数被3除的余数,只能是1,2,0．若5个数被3除的余数中,这三种2都有,则每种余数的数各取一个,其和是3的倍数,如果这5个数被3除只有2种余数,则由抽屉原理知,必有3个数被3除的余数相同．取此3个数,其和是3的倍数．
于是,17个数一定能组成5组,每组3个数,其和是3的倍数．
把这5组数的和为3a,3b,3c,3d,3e．考虑a、b、c、d、e这5个数,由上证,其中必有3个数的和为3的倍数,不妨设a+b+c是3的倍数．于是3a+3b+3c是9的倍数,此时,取和为3a、3b、3c的9个数,其和为9的倍数．即任取17个整数,其中一定可以找到9个数,其和为9的倍数．因此找不到17个满足上述要求的正整数．