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取至少三个不同的正整数,使任意三个数的和为质数,最多可取几个数?
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取至少三个不同的正整数,使任意三个数的和为质数,最多可取几个数?
▼优质解答
答案和解析
最多4个
四个数取3,9,11,17,任意三个数和为23.29,31,37均为质数,合题意.
下证n≥5时不成立.
因两两不同,任意三个数的和≥1+2+3=6,要为质数,必不是3的倍数.
数除以3的余数有0,1,2
若n个数中存在三个数a,b,c除以3的余数分别为0,1,2zea+b+c为3的倍数,不是质数.不符题意.
所以n个数除以3的余数只可能有1或2种情况,则由抽屉原理,除以3的余数相同的数至少有3个,则这3个数的和不是质数.不符题意.
所以n≥5时不成立.
综上,最多4个.
证的没问题吧.
四个数取3,9,11,17,任意三个数和为23.29,31,37均为质数,合题意.
下证n≥5时不成立.
因两两不同,任意三个数的和≥1+2+3=6,要为质数,必不是3的倍数.
数除以3的余数有0,1,2
若n个数中存在三个数a,b,c除以3的余数分别为0,1,2zea+b+c为3的倍数,不是质数.不符题意.
所以n个数除以3的余数只可能有1或2种情况,则由抽屉原理,除以3的余数相同的数至少有3个,则这3个数的和不是质数.不符题意.
所以n≥5时不成立.
综上,最多4个.
证的没问题吧.
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