正整数N的奇因数个数与偶因数个数相同，N的因数个数为50，3×N的因数个数为60．满足条件的N的最小值为．

Question

正整数N的奇因数个数与偶因数个数相同，N的因数个数为50，3×N的因数个数为60．满足条件的N的最小值为___．

Answer 1

根据分析，N的分解质因数中至少含有一个3，N=3ⁿ×a^m，可列关系式：(60)/(50)=(n+2)/(n+1)，
解得：n=4，将50分解质因数：50=2×5×5，∵N的约数个数50=（1+1）×（4+1）×（4+1）=（9+1）×（4+1），
①若50=（1+1）×（4+1）×（4+1），则N为3⁴X⁴Y¹的形式，又因为N的奇因数个数与偶因数个数相同，
故X必为奇数且X≠3，Y为偶数，此时当X=5，Y=2时，N的值最小，N=3⁴×5⁴×2=101250；
②若50=（9+1）×（4+1），则N为3⁴×X⁹的形式，而X必为偶数，此时偶因数的个数大于奇因数的个数，与题意矛盾，排除．
综上，N的最小值为101250．
故答案是：101250．