初等数论,设n是正整数,证明(n!+1,(n+1)!+1)=1

Question

初等数论,设n是正整数,证明(n!+1,(n+1)!+1)=1

Answer 1

这个好证：
设d=(n!+1,(n+1)!+1).
则d|(n!+1),d|((n+1)!+1)
所以d|[(n!+1)*(n+1)-((n+1)!+1)]
即d|n.
所以如果d>1
那么d必定是n的某个因子.
但[n,(n!+1)]=1.
因此n与(n!+1)无大于1的素因子.这里得出d=1.矛盾.
所以d=1.
故(n!+1,(n+1)!+1)=1.