什么是级数,如何用它求圆周率通过级数可以得到arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...π/4=arctan0.5+arctan0.2+arctan0.125把每个都展开加起来就行了

Question

什么是级数,如何用它求圆周率
通过级数可以得到
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...
π/4=arctan0.5+arctan0.2+arctan0.125
把每个都展开加起来就行了

Answer 1

级数（series）就是一列有限的或无限表达式的和.
如：
1 + 2 + 3 + 4 = 10,是有限的数项级数.
sin(x) = x - x^3/3!+ x^5/5!- x^7/7!+ …,是无穷的幂级数.
用级数求圆周率,就是把圆周率先写成一个函数表达式,然后把这个函数写成无穷级数（一般是幂级数）的形式,计算此无穷级数前n项的部分和,从而对圆周率进行估计.
关于π的一个古典级数是1674年发现的Leibniz级数：
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + …
不过它收敛非常慢,很不实用.
1748年数学家Euler也发现一个著名的级数：
π^2 / 6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … + 1/n^2 + …
不过它收敛得很也慢,不实用.
比较实用的关于ArcTan的公式有你写的
π/4 = ArcTan(1/2) + ArcTan(1/5) + ArcTan(1/8)
及
π = ArcTan(1/5) - 4 ArcTan(1/239)
还有
π = 88 ArcTan(1/28) + 8 ArcTan(1/443) - 20 ArcTan(1/1393) - 40 ArcTan(1/11018)
等等.
另外有一些基于模形式理论的公式,计算速度更快一些,就不抄了.