三角形等分点的连线相互平行(不用相似来解）

Question

三角形等分点的连线相互平行(不用相似来解）

Answer 1

△ABC中,BA边上自B起的B1、B2、B3、……Bn-1诸点把BA边等分成n等份,同样,CA边上自C起的C1、C2、C3、……Cn-1诸点把CA边等分成n等份,求证B1C1∥B2C2∥B3C3∥……∥Bn-1Cn-1.
证明：只要证得各等分点连线B1C1、B2C2、B3C3、……均与BC边平行则命题就能得证.为此,任取一条等分点的连线BkCk (1≤k≤n-1),那么BBk/BA=k/n,连接CBk,
∵△BCBk与△BCA有公共顶点C,C的对边BBk和BA在同一直线上,
∴S△BCBk/S△BCA=BBk/BA=k/n；
同样的道理,由CCk/CA=k/n,连接BCk可得S△BCCk/S△BCA=CCk/CA=k/n,
∴S△BCBk/S△BCA=S△BCCk/S△BCA,那么S△BCBk=S△BCCk,
∵△BCBk和△BCCk有公共边BC,
∴两三角形BC上的高即Bk和Ck二点到BC的距离相等,必有BkCk∥BC.
这就证明了各等分点连线B1C1、B2C2、B3C3、……均与BC边平行
于是各等分点连线B1C1、B2C2、B3C3、……Bn-1Cn-1相互平行.