将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E

Question

将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C=30°，AB=2BC．
（1）固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB₁=______度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A₁B₁垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，使AB∥CB₁，AB与A₁C交于点D，试说明A₁D=CD．

Answer 1

（1）①∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴∠A₁CA=20°
∴∠ACB₁=70°，
∴∠BCB₁=∠ACB+∠ACB₁=160°；
故答案为160；
②当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直．理由如下：
当AB与A₁B₁垂直时，∠A₁ED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠A₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=60°，
∵∠B=60°，
∴∠A₁CB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°；
即旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直；
（2）∵AB∥CB₁，∠ACB₁=90°，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴CD=(1)/(2)AC，
∵图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，
∴AC=A₁C，
∴CD=(1)/(2)A₁C，
∴A₁D=CD．