设φ（x）=∫x0tf(t)x2dtx≠0ax＝0，其中f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0．（1）确定a的值，使φ（x）在x=0处可导；（2）对确定的a值，φ′（x）在x=0处是否连续

Question

设φ（x）=

∫

x 0

(tf(t))/(x2)dt   x≠0

a               x＝0

，其中f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0．
（1）确定a的值，使φ（x）在x=0处可导；
（2）对确定的a值，φ′（x）在x=0处是否连续？

Answer 1

（1）
φ（x）在x=0处可导时，则φ（x）一定在x=0处连续．
所以：

lim

x→0

φ(x)＝φ(0)，
又：

lim

x→0

φ(x)＝

lim

x→0

(∫x0tf(t)dt)/(x2)＝

lim

x→0

(xf(x))/(2x)＝(f(0))/(2)＝0，
得到：φ（0）=0，
即：a=0．

（2）
利用导数的求导法则和基本定义，容易求得：
φ′(x)＝

−2x−3

∫

x 0

tf(t)dt+(f(x))/(x)，x≠0

(1)/(3)f′(0)，x＝0

，
且

lim

x→0

φ′(x)＝

lim

x→0

(−2x−3

∫

x 0

tf(t)dt+(f(x))/(x))＝−2

lim

x→0

x−3

∫

x 0

tf(t)dt+

lim

x→0

(f(x))/(x)＝f′(0)−(2)/(3)f′(0)＝(1)/(3)f′(0)，
而：φ′(0)＝(1)/(3)f′(0)，
所以φ′（x）在x=0处连续．