函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微的充分条件是（）A．f（x，y）在点（x0，y0）处连续B．fx′（x，y）、fy′（x，y）在点（x0，y0）的某邻域存在C．△z=fx′（x，y）△x-fy′（x，y）△y

Question

函数z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微的充分条件是（　　）

A．f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续
B．f_x′（x，y）、f_y′（x，y）在点（x₀，y₀）的某邻域存在
C．△z=f_x′（x，y）△x-f_y′（x，y）△y，当√((△x)2+(△y)2)→0时是无穷小量
D．(△z−fx′(x，y)△x−fx′(x，y)△y)/(√((△x)2+(△y)2))，当√((△x)2+(△y)2)→0时是无穷小量

Answer 1

①选项A．由f（x，y）在（x₀，y₀）点可微，得△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）
因此

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x0+△x，y0+△y)=

lim

ρ→0

[f(x0，y0)+△f]＝f(x0，y0)，即连续
即可微⇒连续，
故A是z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微的必要条件
②选项B．由可微，得△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）中，令△y=0
则有f（x₀+△x，y₀）-f（x₀，y₀）=A△x+o（|△x|），两端处于△x，并令△x→0，得

lim

△x→0

(f(x0+△x，y0)−f(x0，y0))/(△x)＝fx(x0，y0)，同理f_y（x₀，y₀）也存在．
即可微⇒偏导数存在
故B是z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微的必要条件
③选项C．由可微的定义，也可推得：△z=f_x′（x，y）△x-f_y′（x，y）△y，当√((△x)2+(△y)2)→0时是无穷小量
故C是z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微的必要条件
④选项D．由(△z−fx′(x，y)△x−fx′(x，y)△y)/(√((△x)2+(△y)2))，当√((△x)2+(△y)2)→0时是无穷小量，可知
△z＝fx′(x，y)△x+fx′(x，y)△y+o(√((△x)2+(△y)2))，即函数z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微
故D是z=f（x，y）在点（x₀，y₀）处可微的充分条件
故选：D