若f(x)在点x0n阶导数存在,则f(x)在点x0的某个邻域内存在小于n阶的导数,且存在小于n-1阶的连续导数.

Question

若f(x)在点x0n阶导数存在,则f(x) 在点x0的某个邻域内存在小于n阶的导数,且存在小于n-1阶的连续导数.

Answer 1

　　因为
　　　　f(n)(x0) = lim(h→0)[f(n-1)(x0+h) - f(n-1)(x0)]/h,
即 f 在 x0 点的 n 阶导数需由 f 在 x0 点附近（x0的某个邻域 O(x0)）的n-1 阶导数得到的.依次法往前推有限次,即得知 “f(x) 在O(x0)存在小于 n 阶的导数”.
　　其次,由于 f 在 x0 点附近（x0的某个邻域O(x0)）的 n-1 阶导数存在,因此 f 在 O(x0) 的 n-2 阶导数需连续.依次法往前推有限次,即得知 “f 在 O(x0) 存在小于n-1阶的连续导数”.