设可微函数z=f（x，y）满足dz=2xdx-2ydy，且f（0，0）=0，求函数f（x）在区域D={（x，y）|x2+y2≤1，y≥0}上的最大值和最小值．

Question

设可微函数z=f（x，y）满足dz=2xdx-2ydy，且f（0，0）=0，求函数f（x）在区域D={（x，y）|x²+y²≤1，y≥0}上的最大值和最小值．

Answer 1

由dz=2xdx-2ydy可得，z=f（x，y）=x²-y²+C．
又因为f（0，0）=0，所以C=0，
从而z=f（x，y）=x²-y²．
由

f′x＝2x＝0

f′y＝−2y＝0

可得，

x＝0

y＝0

．
此驻点在边界y=0，-1≤x≤1上，
在此边界上，z=f（x，0）=x²，-1≤x≤1，故此时z的最大值为1，最小值为0．
在边界x²+y²=1，y≥0上，
z=f（x，y）=x²-y²=x²-（1-x²）=2x²-1，-1≤x≤1，
故此时z的最大值为1，最小值为-1．
综上，z=f（x，y）在D上的最小值为-1，最大值为1．