如图所示，两根相距L1的平行粗糙金属导轨固定在水平面上，导轨上分布着n个宽度为d、间距为2d的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上．在导轨的左端连接一个阻值为R的电阻，导轨的

Question

如图所示，两根相距L₁的平行粗糙金属导轨固定在水平面上，导轨上分布着n 个宽度为d、间距为2d的匀强磁场区域，磁场方向垂直水平面向上．在导轨的左端连接一个阻值为R的电阻，导轨的左端距离第一个磁场区域L₂的位置放有一根质量为m，长为L₁，阻值为r的金属棒，导轨电阻及金属棒与导轨间的接触电阻均不计．某时刻起，金属棒在一水平向右的已知恒力F作用下由静止开始向右运动，已知金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．

（1）若金属棒能够匀速通过每个匀强磁场区域，求金属棒离开第2个匀强磁场区域时的速度v₂的大小；
（2）在满足第（1）小题条件时，求第n个匀强磁场区域的磁感应强度B_n的大小；
（3）现保持恒力F不变，使每个磁场区域的磁感应强度均相同，发现金属棒通过每个磁场区域时电路中的电流变化规律完全相同，求金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的整个过程中左端电阻R上产生的焦耳热Q．

Answer 1

（1）金属棒匀加速运动时，由牛顿第二定律有
  F-μmg=ma
由运动学公式有 v₂²=2a（L₂+2d）
解得：v₂=√((2(F-μmg)(L2+2d))/(m))
（2）金属棒匀加速运动的总位移为   x=L₂+2nd-2d
金属棒进入第n个匀强磁场的速度满足  v_n²=2ax
金属棒在第n个磁场中匀速运动有
    F-μmg-F_安=0
又 F_安=(B2nL21vn)/(R+r)
解得：B_n=(1)/(L1)

4	(m(F-μmg)(R+r)2)/(2L2+4nd-4d)

（3）金属棒进入每个磁场时的速度v和离开每个磁场时的速度v′均相同，由题意可得
   v²=2aL₂
  v²-v'²=2a•2d
金属棒从开始运动到通过第n个磁场区域的过程中，有
  x_总=L₂+3nd-2d
根据动能定理得（F-μmg）x_总-Q_总=(1)/(2)mv′²；
电阻R上产生的焦耳热 Q=(R)/(R+r)Q_总；
解得：Q=(3R)/(R+r)nd（F-μmg）
答：
（1）金属棒离开第2个匀强磁场区域时的速度v₂的大小是√((2(F-μmg)(L2+2d))/(m))；
（2）第n个匀强磁场区域的磁感应强度B_n的大小是(1)/(L1)

4	(m(F-μmg)(R+r)2)/(2L2+4nd-4d)

；
（3）左端电阻R上产生的焦耳热Q是(3R)/(R+r)nd（F-μmg）．