下列说法正确的是（）A．若f（x）和g（x）在x=0点的某邻域无界，则limx→0f（x）g（x）=∞B．若f（x）在x=0点的某邻域内有界，g（x）在x=0的某邻域无界，则f（x），g（x）在x=0点的某邻域

Question

下列说法正确的是（　　）

A．若f（x）和g（x）在x=0点的某邻域无界，则

lim

x→0

f（x）g（x）=∞
B．若f（x）在x=0点的某邻域内有界，g（x）在x=0的某邻域无界，则f（x），g（x）在x=0点的某邻域一定无界
C．若f（x）和g（x）都在x=0点的某邻域有界，则f（x）+g（x）在x=0点的某邻域一定有界
D．若f（x），g（x）在x=0点的某邻域内都有界，则必有

lim

x→0

f（x）g（x）=0

Answer 1

选项C正确．利用局部有界的定义．因为f（x）g（x）在x=0的某邻域有界，必存在M＞0，
使|f（x）|＜M，|g（x）|＜M，所以|f（x）+g（x）|＜|f（x）|+|g（x）|＜2M．
A、B、D的反例：
A：取f（x）=g（x）=

(1)/(x)sin(1)/(x)，   x≠0

0，   x＝0

，但是，对于任意正数k，取x_k=(1)/(kπ)，均有f（x_k）=g（x_k）=0，从而f（x_k）g（x_k）=0．
B：取f（x）=x，g（x）=

(1)/(x)， x≠0

1， x＝0

，但f（x）g（x）=

1，  x≠0

0，  x＝0

为有界的．
D：取f（x）=g（x）=1为常数函数，均为有界的，但f（x）g（x）≡1．
综上，正确答案为C．
故选：C．