为什么无界函数的积分也就是瑕积分,不论在区间(a,b],还是[a,b)上时,其都是存在一ε>0并且有,当ε→0+时,lim∫(a,b-ε)f(x)dx的表现形式呢?换句话说,为什么ε一定要从0的右侧趋近呢?左侧难道不行?

Question

为什么无界函数的积分也就是瑕积分,不论在区间(a,b],还是[a,b)上时,其都是存在一ε>0
并且有,当ε→0+时,lim∫(a,b-ε)f(x)dx的表现形式呢?换句话说,为什么ε一定要从0的右侧趋近呢?左侧难道不行?
刚刚学到反常积分这块,

Answer 1

原因也很简单,在Riemann意义下积分的必须是有界函数.所以在定义瑕积分时就想了一个办法：因为f(x)对于每个ε>0,在[a,b-ε]上都是有界的（假设只有b是唯一的瑕点）,这样f(x)在[a,b-ε]上的积分就可以定义.然后我们把区间[a,b-ε]向[a,b]逼近,如果极限存在,就记作[a,b]上的瑕积分.
极限号中的东西必须先有定义,才能求极限,如果你允许ε从左侧逼近,即ε0-, lin [a,b+ε]f(x)dx.注意极限号里面的积分区间始终不能包含b点!