对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值

Question

对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M ＞ 0 ，对于任意的函数值 y ，都满足﹣ M ＜ y ≤ M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1 ．

（ 1 ）分别判断函数 y= （ x ＞ 0 ）和 y=x+1 （﹣ 4 ≤ x ≤ 2 ）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

（ 2 ）若函数 y= ﹣ x+1 （ a ≤ x ≤ b ， b ＞ a ）的边界值是 2 ，且这个函数的最大值也是 2 ，求 b 的取值范围；

（ 3 ）将函数 y=x ² （﹣ 1 ≤ x ≤ m ， m ≥ 0 ）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t ，当 m 在什么范围时，满足 ≤ t ≤ 1 ？

Answer 1

（ 1 ）根据有界函数的定义知，函数 y= （ x ＞ 0 ）不是有界函数．

y=x+1 （﹣ 4 ≤ x ≤ 2 ）是有界函数．边界值为： 2+1=3 ；

（ 2 ） ∵ 函数 y= ﹣ x+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小，

∴ 当 x=a 时， y= ﹣ a+1=2 ，则 a= ﹣ 1

当 x=b 时， y= ﹣ b+1 ．则 ，

∴ ﹣ 1 ＜ b ≤ 3 ；

（ 3 ）若 m ＞ 1 ，函数向下平移 m 个单位后， x=0 时，函数值小于﹣ 1 ，此时函数的边界 t ≥ 1 ，与题意不符，故 m ≤ 1 ．

当 x= ﹣ 1 时， y=1 即过点（﹣ 1 ， 1 ）

当 x=0 时， y _最小 =0 ，即过点（ 0 ， 0 ），

都向下平移 m 个单位，则

（﹣ 1 ， 1 ﹣ m ）、（ 0 ，﹣ m ）

≤ 1 ﹣ m ≤ 1 或﹣ 1 ≤ ﹣ m ≤ ﹣ ，

∴ 0 ≤ m ≤ 或 ≤ m ≤ 1 ．