若一个函数的导函数在有限区间上有界，则该函数也在此区间有界．

Question

若一个函数的导函数在有限区间上有界，则该函数也在此区间有界．

Answer 1

设f（x）在有限区间I上的导数f′（x）有界，则存在M>0，使得|f′（x）|≤M．
设I的长度为L．
取定x₀∈I，则∀x∈I，利用拉格朗日中值定理可得，
f（x）-f（x₀）=f′（ξ）（x-x₀），其中ξ在x与x₀之间．
从而，|f（x）-f（x₀）|=|f′（ξ）||x-x₀|≤LM，
|f（x）|≤|f（x₀）|+|f（x）-f（x₀）|≤|f（x₀）|+LM，
故f（x）在I上有界．