大学数学问题（微积分）,例如,x^2+y^2-r^2=0是一个自变量为x、因变量为y的隐函数,为了求y对x的导数,将上式两边逐项对x求导,并将y^2看做x的复合函数.右端的导数显然为0,则有(d/dx)(x^2)+(d/dx)(y^2)-

Question

大学数学问题（微积分）,例如,x^2+y^2-r^2=0是一个自变量为x、因变量为y的隐函数,为了求y对x的导数,将上式两边逐项对x求导,并将y^2看做x的复合函数.右端的导数显然为0,则有
(d/dx)(x^2)+ (d/dx)(y^2)- (d/dx)(r^2)=0
即 2x+2y(d/dx)=0
于是得到 x+y(d/dx)=0
所以 (dy/dx)=-x/y
从上例可以看出,在等式两边逐项对自变量求导数,即可得到一个包含y’的一次方程,请问什么叫等式两边逐项对自变量求导?对于上题,将上式两边逐项对x求导这是怎么做的?还有将y^2看做x的复合函数这是什么意思?还有y对x的导数,这怎么理解?请详细一点,看在我将式子给出的情况下,求你了,看在我焦急的情况下.

Answer 1

逐项求导就是说方程两边都是多项式,将多项式的每一项分别对 x 求导.
可以不用按照复合函数来求导的.
将x ,y都看做自变量,我们直接对每个项求导就可以了,比如你的式子
x^2 + y^2 -r^2 =0
那么就有
2xdx + 2ydy =0
移项得到 2ydy = -2xdx
则有 dy/dx = -x/y
这是其中的一种方法.
如果非要按照复合函数的求导的方法,只有 x 是自变量,那么 y 就是一个关于 x 的函数,那么上述方程左边对 y^2 项求导就要分两步,第一步是 y^2 对 y 求导得 2y ,然后乘以 y 对 x 求导即 y‘（这其实也就是dy/dx）
我说的方法其实是基于微分的道理,因为 dy/dx 是y对x的导数,也可以看做两个变量微分的比值,因此,在逐项求导的过程中,将二者均看做变量,各自求微分,然后合并同类项相除就可以求得导数了.
比如 x^3 + 2xy^2 + 5x^2y + 2y^3 + 45 = 0 这个隐含表达式 x^3和2y^3和45这三项就不说了,直接对相应变量求导就可以了得到 3x^2dx 、6y^2dy 和 0 .
中间的两项是二元的项,求导的时候,两个变量都要求,求x导数时,将y看做常数,求y导数时,将x看做常数.
如 2xy^2 求导的结果是 2y^2dx + 4xydy
所有项都求完后,因为等式两边的项要么带有dx,要么带有dy,合并同类项后就必然得到dy/dx