有界测度集上的勒贝格可积函数几乎处处有界吗?

Question

有界测度集上的勒贝格可积函数几乎处处有界吗?

Answer 1

不一定,考虑 ∫_[0,1] log x dx,但是可以证明被积函数几乎处处有限.
设 F_n = {x∈Ω :|f(x)| ≥ n}
则 ∫ |f| ≥ n·m(F_n)
故 m(F_n) ≤ ∫ |f| / n
因而 m {x∈Ω :f(x) = ±∞} = m (∩F_n) ≤ m(F_n) ≤ ∫ |f| / n (→0,as n→∞)