可积的充分条件是f（x）在〔a,b〕连续.f（x）在〔a,b〕上有界且只有限个间断点；我想知道函数连续能可积,为什么存在有限个间断点也可积呢?

Question

可积的充分条件是f（x）在〔a,b〕连续.f（x）在〔a,b〕上有界且只有限个间断点；我想知道函数连续能可积,为什么存在有限个间断点也可积呢?

Answer 1

函数的可积性是针对于定积分提出来的,跟不定积分和广义积分没啥关系.
2,所有的充分条件中都要求“闭区间”这个最重要的条件.
3,关于第二个充分条件的讨论：有界且有有限个间断点则说明间断点的类型包括第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）,第二类间断点中的震荡间断点而不包括无穷间断点,因为无穷间断点使得函数在闭区间内无界.进一步来思考：一般定积分我们用牛-莱公式计算,而第一类间断点使得积分不存在原函数,所以应该用分段积分法计算.第二类间断点,震荡间断点比如说SIN(1/X）的积分虽然可积,但积分如何计算至今还没碰见这类问题,需查积分表,这也超出了我们的考察范围!无穷间断点不可积,但可以用广义积分判断其敛散性,若其他情况,只要能判断其原函数存在,用牛-莱公式即可!
4,关于可积充分条件的第三个条件：函数的单调性是对于连续函数说的,若有间断点,就无所谓单调性了,所以教材上并未列出这个条件,估计是二李想用“闭区间上单调函数必有界”