函数f在[ab)上连续,无上界,且对任意（cd)￠[ab),f在(cd)上不取最小值,证明,f在[ab)上严格单调递增

Question

函数f在[a b)上连续,无上界,且对任意（c d)￠[a b),f在(c d)上不取最小值,证明,f在[a b)上严格单调递增

Answer 1

证明：（反证法）假设f(x)在[a,b)上不是严格单调递增
则存在x1、x2∈[a,b),x1=f(x2).
因为函数f(x)在[a,b)上连续,无上界,所以对任意G>0,存在x∈[a,b),使得f(x)>G.
(1)若f(x1)>f(x2),取G=maxf(x),x∈[a,x2],则存在x3∈[a,b),x3>x2,使得f(x3)>G>f(x2),
记m1=minf(x),x∈[x1,x3]包含于[a,b),则m1x2,使得f(x5)>G>f(x2),
于是f(x4)>f(x2),f(x5)>f(x2),记m2=minf(x),x∈[x4,x5]包含于[a,b),则m2