高数极限问题如果一个函数有一个上界,然后那么这个界是他的极限吗,同样一个函数有极限,那极限是他的一个界吗,极限和界有什么不同啊

Question

高数极限问题
如果一个函数有一个上界,然后那么这个界是他的极限吗,同样一个函数有极限,那极限是他的一个界吗,极限和界有什么不同啊

Answer 1

下面回答“极限和界有什么不同,有没有关系”：
结论是,极限和界是【不同的】两个概念,这个需要仔细把握它们各自的定义.
二者的【关系是】,有极限必（在取极限的附近）有界,而有界不一定有极限.
“有极限必（在取极限的附近）有界”这是极限的一个性质定理,书上有.
有界不一定有极限,例,
函数f（x）=sin(1/x)在x=0附近(不包含x=0)是有界的,但是极限Lim（x→0）sin(1/x)不存在.
关于这个方面,也可能还有更简单的例子.
下面解解这段话：
“如果一个函数有一个上界,然后那么这个界是它的极限吗,
同样一个函数有极限,那极限是它的一个界吗”
答案是,即使一个函数既有界又有极限,界不一定是极限,极限也不一定是界.
例如,按照界的定义,2是sinx的界,但2不是sinx的极限,这时,
sinx的极限也不可能是它的界2.
关于这个方面,同样也可能还有更好的例子.