1.4y"+4y'+y=0,满足有y(0)=2,y'(0)=0的特解?2.y'+3y=e^2x的通解?

Question

1.4y"+4y'+y=0,满足有y(0)=2,y'(0)=0的特解?2.y'+3y=e^2x的通解?

Answer 1

1、
特征方程 4r^2 +4r +1=0,
r1=r2=-1/2,有重根,
所以通解为y=(C1x+C2)e^(-x/2)
y'=c1*e^(-x/2 )-(1/2)(c1x+c2)e^(-x/2 )
=(1/2)(2c1-c2-c1*x)e^(-x/2 )
y(0)=C2=2,
y'(0)=1/2（2c1-2）=0得 c1=1,
特解y=(x+2)e^(-x/2 )
2、
求y'+3y=0的通解
y'/y=-3
lny=-3x
y=Ce^(-3x)
用常数变易法,令原方程的通解为y=C(x)e^(-3x)代入原方程得,
C'(x)e^(-3x)-3C(x)e^(-3x)+3C(x)e^(-3x）=e^2x
化简得C'(x)=e^(5x)
积分得到C(x)=1/5e^(5x)+C
代回后即得到原方程通解y=1/5e^(2x)+Ce^(-3x)