y''-2y'+y=3xe^-x的特解可设为y^*=要求有过程.可是答案是（C1+C2x）e^x是他给的题错了。还是我没搞明白呢~

Question

y''-2y'+y=3xe^-x的特解可设为y^*= 要求有过程.
可是答案是（C1+C2x）e^x
是他给的题错了。还是我没搞明白呢~

Answer 1

方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的特征方程为 r^2+3r+2=0,解为r1=-1,r2=-2,故齐次方程y''+3y'+2y=0的通解为 y1=Ae^(-x)+Be^(-2x)
以下用常数变易法求特解,设特解 y*=A(x)e^(-x)+B(x)e^(-2x)
A'e^(-x)+B'e^(-2x)=0
-A'e^(-x)-2B'e^(-2x)=3xe^(-x)
解得A'=3x,B'=-3xe^x
积分得A=(3/2)x^2+C1,B=(1-3x)e^x+C2,由于是特解,可令C1=C2=0 从而特解为 y*=[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)
原微分方程的通解为 y=y1+y* =Ae^(-x)+Be^(-2x)+[(3/2)x^2-3x+1]e^(-x)