设A是m*n矩阵,证明齐次线性方程组Ax=0与ATAx=0同解.

Question

设A是m*n矩阵,证明齐次线性方程组Ax=0与ATAx=0同解.

Answer 1

证明:
若AX1=0, 则 A^TAX1 = 0
即 AX=0 的解都是 A^TAX=0 的解

若 A^TAX2 = 0
则 X2^T A^TAX2 = 0
所以 (AX2)^T(AX2) = 0
所以 AX2 = 0 -- 这里要求A是实矩阵
-- 提示: AX2 是一个列向量
所以 A^TAX=0 的解也是 AX=0 的解

所以 齐次线性方程组Ax=0与A^TAx=0同解