如图所示，上表面光滑的”L“形木板B锁定在倾角为37°的足够长斜面上，将一小物块A从木板B的中点轻轻释放，同时解除木板B的锁定，此后A和B发生碰撞，碰撞过程时间很短且不计能量损失

Question

如图所示，上表面光滑的”L“形木板B锁定在倾角为37°的足够长斜面上，将一小物块A从木板B的中点轻轻释放，同时解除木板B的锁定，此后A和B发生碰撞，碰撞过程时间很短且不计能量损失，已知物块A的质量m=1kg，木板B的质量M=4kg，板长L=6m，木板与斜面间的动摩擦因数μ=0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s²，sin37°=0.6，试问：

（1）第一次碰撞后瞬间A和B的速度；
（2）在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A距B的最大距离和重力对A做的功；
（3）试分析说明第二次碰撞后小物体能否离开木板．

Answer 1

（1）A与B碰撞前沿B向下的位移是3m，该过程中重力做功，由机械能守恒得：
(1)/(2)m

v

2 0

=mg•(L)/(2)•sinθ
代入数据得：v₀=6m/s
A与B碰撞的时间短，可以认为沿斜面的方向二者的动量守恒，选取沿斜面向下的方向为正方向，则：
mv₀=mv₁+Mv₂
由机械能守恒得：(1)/(2)m

v

2 0

=(1)/(2)m

v

2 1

+(1)/(2)M

v

2 2

联立得：v₁=-3.6m/s，v₂=2.4m/s
（2）A与B碰撞后，A受到重力、斜面的支持力，沿斜面的方向：mgsinθ=ma₁
所以：a1=gsinθ=10×sin37°=6m/s2
可知A先向上减速，然后再向下加速，
B受到重力、斜面的支持力、A对B的压力、斜面对B的摩擦力，沿斜面的方向：
Ma₂=Mgsinθ-μ（m+M）gcosθ
代入数据得：a₂=0
可知B沿斜面向下做匀速直线运动．当A的速度恰好与B的速度相等时，二者之间的距离最大，设时间为t，则：
v₂=v₁+a₁t
代入数据得：t=1s
二者的相对位移：x=v2t-v1t-(1)/(2)a1t2
代入数据得：x=3m
当A再次与B相碰时，二者的位移相等，则：v2t′=v1t′+(1)/(2)a1t′2
代入数据得：t′=2s
此过程中B的位移：x_B=v₂t′=2.4×2=4.8m
重力做的功：W=Mgx′•sinθ=4×10×4.8×sin37°=115.2 J
（3）此时A的速度：v₃=v_a+a₁t′=-3.6+6×2=8.4m/s
A第二次与B碰撞的过程中：mv₃+Mv₂=mv₄+Mv₅；
(1)/(2)m

v

2 3

+(1)/(2)M

v

2 2

=(1)/(2)m

v

2 4

+(1)/(2)M

v

2 5

联立得：v₄=-1.2m/s；v₅=4.8m/s
此后A的运动是先向上减速，然后再向下加速，B仍然做匀速直线运动，当A的速度恰好与B的速度相等时，二者之间的距离最大，设时间为t″，则：
v₅=v₄+a₁t″
代入数据得：t″=1s
二者的相对位移：x″=v5t-v4t-(1)/(2)a1t″2
代入数据得：x″=3m
所以A不能离开B板．
答：（1）第一次碰撞后瞬间A和B的速度分别为3.6m/s，方向向上和2.4m/s方向向下；
（2）在第一次碰撞后到第二次碰撞前的过程中，A距B的最大距离是3m，重力对A做的功是115.2J；
（3）第二次碰撞后小物体不能离开木板．