n次多项式有n重根的充要条件是能多项式被导数整除

Question

n次多项式有n重根的充要条件是能多项式被导数整除

Answer 1

注意到：一个多项式f(x)有不可约k重因式p(x)的充要条件是,p(x)是f'(x)的k-1重因式.
回到问题,
n次多项式f(x)有n重根x=a,
充要条件是（x-a）是f(x)的n重因式
使用定理：
充要条件是,(x-a)是f'(x)的(n-1)重因式
因而可以得到
f(x)=C1(x-a)^n,且f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
充分性：
显然,它被导数整除
必要性：（反证）
注意到,f'(x)只有一个（n-1）重的根,
则【f(x)=C3f'(x)(x-b)】(中括号内由代数基本定理得到)
注意到,假若a≠b
那么对【】左右两边求导可得：
f'(x)=C3f'(x)+C3f''(x)(x-b)（恒等）
而上面得到
f'(x)=C2(x-a)^(n-1)
那么
C2(x-a)^(n-1)=C3C2(x-a)^(n-1)+C3f''(x)(x-b)（恒等）
由次数可知,
若a≠b,则上面的式子无法恒等!
证毕!