大学概率论与数理统计-徐雅静例1.10题有点问题某家庭中有两个孩子,已知其中至少有一个是男孩,求另一个也是男孩的概率（假设男,女出生率相同）.（书上的解为）解：用g代表女孩,b代

Question

大学概率论与数理统计-徐雅静 例1.10题 有点问题
某家庭中有两个孩子,已知其中至少有一个是男孩,求另一个也是男孩的概率（假设男,女出生率相同）.
（书上的解为） 解： 用g代表女孩,b代表男孩,A=“该家庭中至少有个男孩”,B=“两个都是男孩”,在已知至少有一个男孩条件下,该家庭的两个孩子只能是bb,bg,gb三种情况之一,故C=｛bb,bg,gb｝=A,而B=｛bb｝,所以所求概率为1/3,记为P（B|A）,即P(B|A)=1/3,称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率.
我的观点：既然已经确定知道其中一个为男孩,那么他问的另一个也是男孩的概率,C=｛bb,bg｝这两种情况,根本就没有gb这种情况,P（B|A）=1/2,故觉题有问题.
还有就是题上所说（假设男,女孩出生率相同）,两个孩子,第一个生的男孩,第二个生男生女概率一样,
都是1/2,这也和我上面的观点一样,故P（B|A)=1/2.
你们认为呢

Answer 1

这是一个非常典型的问题,我想说的细一些,主要是你没有理解条件概率的数学价值,而误认为是一个有实际意义的量.
【分析】
A=“该家庭中至少有个男孩”,B=“两个都是男孩”,现在求P（B|A)
那么根据条件概率公式.P(B|A)=P(AB)/P(A)
P(A)：家庭中至少有个男孩子的概率,1-0.5^2=3/4（1减去全是女孩的概率）
P(AB)：两个都是男孩和至少有个男孩同时发生=两个都是男孩,概率为：0.5*0.5=1/4（先生一个是男孩,后面又生了一个男孩）
代入计算,得到P(B|A)=1/3.
至于你认为,已知道一个是儿子,另一个的概率是0.5呗,生闺女和生女儿的概率是一样的,这种想法是典型错的.一定要按照概率论也理解概率发生的细节.因为有时候你理解的和概率论所说的不是一回事.这里让你求的是条件概率,不是普通的概率.
这里主要运用了概率论的乘法公式,如果一件事发生,需要满足N个条件,并且N个条件是相互独立的,那么整个事件发生的概率,就是N个事件独自发生的概率的乘积.生一个孩子,男孩或女孩,这是一个集合,生男和生女是两个互斥事件,概率各自为0.5.再生一个孩子,就是另一个集合了.和第一个孩子没有任何关系,第一次生个女孩的概率是0.5,第二次生女孩的概率也是0.5,那么两次都生女孩的概率就是0.5*0.5,这就是前面求解概率的基础.
【条件概率的含义?】 条件概率是研究,如果你知道一个集合里,A发生的概率P(A),B发生概率P(B),以及两者同时发生的概率P(AB),那么求A发生后,B又发生的概率也就是P(B/A)（或者求P(A/B)）初学者很容易错P(A/B)和P(AB)有啥区别?一个是A发生了B也发生,一个是A发生的情况下,B也发生了,不都是两者全发生了吗,有啥区别?其实这就是问题关键所在.两者是不同的,满足一个公式,P(B|A)=P(AB)/P(A).
引入条件概率的原因就是满足计算要求,当知道p(AB)和P(A)和P(B)的情况下,怎么让三者建立联系呢?引入一个概率吧P(A|B).这个概率有实际意义吗?没有,纯粹就是数学需要,我们实际当中只关心p(AB)和P(A)和P(B).P(A|B)的名字非常有误导性,如果我起名,我宁可叫“过渡概率”或者“关联概率”
【总结】因此,这个题目是让你求的一个没有实际意义的条件概率,你用有实际意义的概率回答,本身就是错的.数学玩的就是逻辑,不要太当回事