设函数f（x）=x4+ax3+x2+b．若f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Question

设函数f（x）=x⁴+ax³+x²+b．若f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Answer 1

f′（x）=x（4x²+3ax+2）
因f（x）仅在x=0处有极值，等价于4x²+3ax+2≥0
对x∈R恒成立，
即（3a）²-4•4•2=9a²-32≤0，
得-(4√(2))/(3)≤a≤(4√(2))/(3)，
此时，x∈（-∞，0），f′（x）＜0，x∈（0，+∞），f′（x）＞0
f（x）仅在x=0处有极小值，所求a的范围是：[-(4√(2))/(3)，(4√(2))/(3)]．