直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1、A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求A1B与平面ABD所成角的正弦值

Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1、A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求A1B与平面ABD所成角的正弦值

Answer 1

以C为原点,CA、CB、CC1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,使A、B、C1落在坐标轴的正半轴上.令AD的中点为F,AC＝a.则：
A（a,0,0）、B（0,a,0）、C（0,0,0）、C1（0,0,2）、A1（a,0,2）.
由中点坐标公式,容易得出：D（0,0,1）、E（a/2,a/2,1）、F（a/2,0,1/2）.
∵G是△ABD的重心,∴BG/FG＝2,由定比分点坐标公式,得：G的坐标是（a/3,a/3,2/3）.
向量BG＝（a/3,－2a/3,2/3）、向量EG＝（－a/6,－a/6,－1/3）.
∵G是E在平面ABD上的射影,∴EG⊥BG,∴向量EG·向量BG＝0,
∴－a^2/18＋2a^2/18－2/9＝0,∴a^2/18＝2/9,∴a＝2.
∴B的坐标是（0,2,0）、E的坐标是（1,1,1）、G的坐标是（1/3,1/3,2/3）.
∴｜EG｜＝√（4/9＋4/9＋1/9）＝1、｜BE｜＝√（1＋1＋1）＝√3.
∴sin∠EBG＝｜EG｜/｜BE｜＝1/√3＝√3/3.
∵G是E在平面ABD上的射影,∴∠EBG就是A1B与平面ABD所成的角.
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值是√3/3.