如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1上的一点且EC1=3D1E，（1）求直线BE与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线BE与CD所成角的大小．（以上结果均用反三角函数表示）

Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是D₁C₁上的一点且EC₁=3D₁ E，
（1）求直线BE与平面ABCD所成角的大小；
（2）求异面直线BE与CD所成角的大小．（以上结果均用反三角函数表示）

Answer 1

（1）在DC上取一点F，使DF=1，连接EF，则EF⊥平面ABCD，
再连接FB，则∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角，…（3分）
∵BF=5，∴tan∠EBF＝(4)/(5)，故直线BE与平面ABCD所成角为arctan(4)/(5)   …（6分）
（2）由题意AB∥CD，∴∠EBA（或其补角）是异面直线BE与DC所成的角．…（8分）
连接AD₁与AE，在Rt△AD₁E中，可得AE＝√(33)，
又在Rt△BEC₁中，可得BE＝√(41)
∴cos∠EBA＝(3√(41))/(41)   …（10分）
∴异而直线BE与CD所成角的大小为arccos(3√(41))/(41)   …（12分）