如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，且,。（I）求多面体ABCDS的体积；（II）求AD与SB所成角的余弦值；（III）求二面角A—SB—D的余弦值。

Question

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形， 且 ,   。（I）求多面体ABCDS的体积；（II）求AD与SB所成角的余弦值；（III）求二面角A—SB—D的余弦值。

Answer 1

（1） （2） ；（3）

本试题主要是考查同学们运用点线面的位置关系，求解异面直线所成的角，以及二面角的求解问题。培养了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力和计算能力的运用。
（1）因为多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。利用棱锥的体积公式求解得到。
（2）分析; 要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角,那么利用平移法得到角，解三角形得到结论。
（3）利用三垂线定理得到二面角，然后借助于三角形的知识求解得到。
（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。
所以
II） 矩形ABCD，

=

 

AD//BC，即BC=a，

要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在 中，由（1）知 面ABCD。

CD是CS在面ABCD内的射影，且
 
BC与SB所成的角的余弦为
从而SB与AD的成的角的余弦为
（III）
面ABCD。
BD为面SDB与面ABCD的交线。
SDB
于F，连接EF从而得：
为二面角A—SB—D的平面角
在矩形ABCD中，对角线
中，
由（2）知在
而

为等腰直角三角形且
，
所以所求的二面角的余弦为