如图正三棱锥ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面于DB1．（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；（2）求平面AB1D与侧面AB1所成的角及

Question

如图正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为(√(2))/(2)a，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁．
（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；
（2）求平面AB₁D与侧面AB₁所成的角及平面AB₁D与底面所成的角；
（3）求A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

（1）D为A₁C₁的中点．连接A₁B与AB₁交于E，
则E为A₁B的中点，DE为平面AB₁D与平面A₁BC₁的交线，∵BC₁∥平面AB₁D
∴BC₁∥DE，∴D为A₁C₁的中点；
（2）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱锥的性质，A
A₁⊥DF，∴DF⊥平面AB₁，连接DG，
则∠DGF为平面AB₁D与侧面AB₁所成的角的平面角，可求得DF＝(√(3))/(4)a，
由△B₁FG～△B₁AA₁，得FG＝(√(3))/(4)a，∴∠DGF＝(π)/(4)
∵D为A₁C₁的中点，∴B₁D⊥A₁C₁，由正三棱锥的性质，AA₁⊥B₁D，∴B₁D⊥平面A₁C
∴B₁D⊥AD，∴∠A₁DA是平面AB₁D与上底面所成的角的平面角，
可求得tan∠A1DA＝√(2)，∴∠A₁DA=arctan√(2)；
（3）过A₁作A₁M⊥AD，∵B₁D⊥平面A₁C，∴B₁D⊥A₁M，∴A₁M⊥平面AB₁D
即A₁M是A₁到平面AB₁D的距离，AD＝(√(3))/(2)a，∴A₁M=(√(6))/(6)a．