求∫∫xdydz+ydzdx+（z+1）dxdy,其中∑是切面z=1-x2-y2在z≥0部分的下侧.∑在∫∫下面越快越好

Question

求∫∫xdydz+ydzdx+（z+1）dxdy,其中∑是切面z=1-x2-y2在z≥0部分的下侧.∑在∫∫下面
越快越好

Answer 1

取曲面∑1为平面z=0(x^2+y^2≤1),取上侧,则由高斯公式,∫∫(∑+∑1) xdydz+ydzdx+(z+1)dxdy＝-∫∫∫ 3dv＝-2π.
∫∫(∑1) xdydz+ydzdx+(z+1)dxdy＝∫∫(∑1) dxdy＝∫∫(Dxy) dxdy＝π
所以,∫∫(∑+∑1) xdydz+ydzdx+(z+1)dxdy＝-3π