求函数y=e−x22的极值、凸凹区间及曲线的拐点坐标．

Question

求函数y=e(−x2)/(2)的极值、凸凹区间及曲线的拐点坐标．

Answer 1

计算可得，
y′＝−xe−(x2)/(2)，
y″＝e−(x2)/(2)(x2−1)．
令f′（x）=0 可得，x=0．
因为f″（0）=-1＜0，
所以函数y在x=0处取得极大值，极大值为：f（0）=1．
令y″=0可得，x=-1，1．
因为当x∈（-∞，1）∪（1，+∞）时，y″＞0，
当x∈（-1，1）时，y″＜0，
所以函数y的凸区间为：（-1，1），
凹区间为（-∞，1），（1，+∞）．
因为函数y在x=-1，1的左右两侧均具有不同的凹凸性，
故（-1，y（-1））与（1，y（1））均为函数y的拐点．
因为y（-1）=y（1）=e−(1)/(2)，
故函数y的拐点为：(−1，e−(1)/(2))，(1，e−(1)/(2))．