求函数y=x+xx2−1的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形．

Question

求函数y=x+(x)/(x2−1)的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形．

Answer 1

函数y=x+(x)/(x2−1)的定义域为x≠±1．
（1）单调区间
求导可得，y′=1−((x2−1)−x•2x)/((x2−1)2)=(x2(x2−3))/((x2−1)2)．
令y′=0可得，x=−√(3)，0，√(3)．
当x∈(−∞，−√(3))∪(√(3)，+∞)时，y′＞0，
当x∈(−√(3)，−1)∪（-1，1）∪(1，√(3))时，y′＜0，
故y的单调增区间为：(−∞，−

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）由导函数的符号求解函数的单调性以及单调区间；（2）由函数的单调性可以判断函数极值；（3）由二阶导数的符号可以判断函数的凸凹性；（4）由函数的凸性区间可以求得拐点；（5）利用垂直渐近线、水平渐近线以及斜渐近线的计算方法计算函数的渐近线．

名师点评

本题考点：

求函数的极值点；判断函数单调性，求单调区间；判断函数图形的凹凸性；计算渐近线．

考点点评：

本题综合考察了函数单调性、极值、凸性、拐点以及渐近线的计算，综合性较强，计算量大，难度系数适中．本题具有较强的代表性，考查的知识点非常全面，需要熟练掌握所考查的5个知识点．

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