用曲线积分解做功问题时,用到了平面束方程.已知W=XYZ在条件x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1(x>0,Y>0,Z>0)下的最大值.令F=XYZ+纳姆达(1-x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2),然后分别求F对X,Y,Z,纳姆达的偏导,设他们=0可算出驻点

Question

用曲线积分解做功问题时,用到了平面束方程.
已知W=XYZ 在条件x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1
(x>0,Y>0,Z>0)下的最大值.令F=XYZ+纳姆达(1-x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2),然后分别求F对X,Y,Z,纳姆达的偏导,设他们=0可算出驻点和最大值.
这里为什么要用平面束方程,它的作用是干什么?

Answer 1

不知道你是哪个专业的,如果是数学专业的,应当清楚这个方法就是Lagrange乘子法.这不是要用平面束方程,而是约束条件的方程,也就是说自变量不是三个：x,y,z,而是受到一个约束条件的限制.即,x,y,z要在椭球面上变化.这相当于通过椭球面方程把其中一个变量,比如z,解出来,然后当作x,y两个变量的无约束条件的极值问题.
在第一卦限,从椭球面方程可以解出z.可是,一般来说,从约束条件的方程难以解出其中任何一个变量的时候,你该如何办呢?Lagrange乘子法就是解决这个问题的恰当方法.
Lagrange乘子法可以使用二维以上的条件机制问题,甚至是无穷维自变量的条件机制问题.这要等到以后学到泛函分析以后就会明白.
另外,你这里的函数F写法要修改一下：F=XYZ+纳姆达(1-x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/b^2).