求微分方程y''-y=2xe^x的通解书上的做法是先求出对应齐次方程的通解,然后设特解为y*=x(ax+b)e^x代入微分方程得到4ax+2a+2b=2x怎么带的我算不出来这个结果

Question

求微分方程y''-y=2xe^x的通解
书上的做法是先求出对应齐次方程的通解,然后设特解为y*=x(ax+b)e^x代入微分方程得到4ax+2a+2b=2x怎么带的我算不出来这个结果

Answer 1

设特解为y*=(ax^2+bx)e^x
则y*'=(ax^2+bx)e^x+(2ax+b)e^x=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x
y*''=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x+(2ax+2a+b)e^x=(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x
所以ax^2+(4a+b)x+2a+2b-ax^2-bx=2x
即4ax+2a+2b=2x