已知正三棱锥P-ABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60°．（1）证明：PA⊥BC；（2）求底面中心O到侧面的距离．

Question

已知正三棱锥P-ABC的体积为 72

3

，侧面与底面所成的二面角的大小为60°．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）求底面中心O到侧面的距离．

Answer 1

（1）证明：取BC边的中点D，连接AD、PD，
则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD．∴PA⊥BC．
（2）如图，由（1）可知平面PBC⊥平面APD，
则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角．
过点O作OE⊥PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离．
设OE为h，由题意可知点O在AD上，
∴∠PDO=60°，OP=2h．
∵ OD=(2h)/(3) ，∴BC=4h ，
∴ S △ABC =(3)/(4) (4h ) 2 =4

3

h 2 ，
∵ 72

3

=(1)/(3) •4

3

h 2 •2h=(83)/(3) h 3 ，∴h=3．
即底面中心O到侧面的距离为3．