假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，现设想从北极处钻一条笔直小孔直达地心（孔的大小可忽略不计），把一个小球从孔口由静止释放，地球表面处的重力加速度为g．已知质量分

Question

假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，现设想从北极处钻一条笔直小孔直达地心（孔的大小可忽略不计），把一个小球从孔口由静止释放，地球表面处的重力加速度为g．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，求：
（1）通过分析计算画出小球在下落过程中的加速度a与其下落的高度h之间的关系图象？
（2）根据图象利用类比的思想，求小球到达地心处的速度？

Answer 1

（1）令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：mg＝G(Mm)/(R2)，
由于地球的质量为M=(4)/(3)πR3ρ，所以地球表面的重力加速度表达式可写成：g=(4πGρR)/(3)．
根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内的引力为零，球在内部下落高度h时距离地心距离为r=R-h处，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，同理得到小球在下落过程中的加速度a与下落的高度h之间的关系式：a=(4πGρ(R−h))/(3)，图线如图所示．
（2）根据v²=2ah，类比v-t图象可知，图线和两坐标轴围成的三角形面积等于小球到达地心时速度的一半，
所以小球到达地心时速度v=√(gh)．
答：（1）图线如图所示．
（2）小球到达地心时速度为√(gh)．