计算三重积分(x^2+ay^2+bz^2)dxdydz,其中Ω是球体x^2+y^2+z^2

Question

计算三重积分(x^2+ay^2+bz^2)dxdydz,其中Ω是球体x^2+y^2+z^2<=R^2,且a,b为常数

Answer 1

原式=∫dθ∫sinφdφ∫[(r*sinφcosθ)²+a(r*sinφsinθ)²+b(r*cosφ)²]r²dr
(作球面坐标变换)
=∫dθ∫sinφdφ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]r^4dr
=(R^5/5)∫dθ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]sinφdφ
=(-R^5/5)∫dθ∫[(cos²θ+asin²θ)(1-cos²φ)+bcos²φ]d(cosφ)
=(2R^5/15)∫(2cos²θ+2asin²θ+b)dθ
=(2R^5/15)∫[1+a+b+(1-a)cos(2θ)]dθ (应用倍角公式)
=(2R^5/15)[2π(1+a+b)]
=4π(1+a+b)R^5/15.