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如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cos
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如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°. (1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面; (2)求cos∠COD. |
▼优质解答
答案和解析
(1)见解析 (2)17-12 |
(1)证明 设平面PAB与平面PCD的交线为l. 因为AB∥CD,AB不在平面PCD内,所以AB∥平面PCD. 又因为AB⊂平面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l,所以AB∥l. 由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行. (2)设CD的中点为F,连接OF,PF. 由圆的性质,知∠COD=2∠COF,OF⊥CD. 因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD. 又OP∩OF=O,故CD⊥平面OPF. 又CD⊂平面PCD,因此平面OPF⊥平面PCD,从而直线OP在平面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与平面PCD所成的角.由题设,∠OPF=60°. 设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan 60°= h. 根据题设有∠OCP=22.5°,得 OC= = . 由1=tan 45°= 和tan 22.5°>0, 可解得tan 22.5°= -1, 因此OC= =( +1)h. 在Rt△OCF中,cos∠COF= = = - , 故cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos 2 ∠COF-1=2( - ) 2 -1=17-12 . |
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