在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱．（1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

Question

在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为√(3)的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

Answer 1

（1）当圆柱内接于圆锥时，圆柱的表面积最大．
设此时，圆柱的底面半径为r，高为h′．
圆锥的高h=√(16-4)=2√(3)，
又∵h′=√(3)，
∴h′=(1)/(2)h．∴(r)/(2)=(2√(3)-√(3))/(2√(3))，∴r=1．
∴S_表面积=2S_底+S_侧=2πr²+2πrh′
=2π+2π×√(3)=2（1+√(3)）π．（6分）
（2）设圆柱的外接球半径为R.R=(√(7))/(2)，
∴S=7πV=(7√(7)π)/(6)（12分）