已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，（1）求它的高；（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．

Question

已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，
（1）求它的高；
（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．

Answer 1

（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵l=10cm，r=5cm，∴h=√(l2−r2)＝√(100−25)=5√(3)cm
即圆锥的高等于5√(3)cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R，（R为球的半径）
则△AEO～△ADB，可得(OE)/(BD)＝(AO)/(AB)，即(R)/(5)＝(5√(3)−R)/(10)，
解之得球半径R=(5√(3))/(3)cm，
因此球的体积V=(4πR3)/(3)=(4π)/(3)×(

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作业帮用户 2017-11-02

问题解析

（1）根据圆锥的定义，利用勾股定理加以计算，可得圆锥的高等于5√(3)cm；
（2）作出圆锥的轴截面如图，根据球与侧面、底面相切，利用相似三角形的性质列式列式，算出内切球的半径R，进而利用球的体积公式可算出答案．

名师点评

本题考点：

球的体积和表面积．

考点点评：

本题给出圆锥满足的条件，求它的高并求内切球的体积．着重考查了圆锥的定义、球的体积公式、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．

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