已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为118118．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P在线段BD₁上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为

(1)/(18)

(1)/(18)

．

Answer 1

连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=(AO)/(PO)，
∴当PO最小时，∠APO最大，
即PO⊥BD₁时，∠APO最大，
如图，作PE⊥BD于E，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
∴BD=√(2)，BD₁=√(3)，
∵OP⊥BD₁，PE⊥BD，
∴△BDD₁∽△BPO∽△PEO，
∴(OP)/(DD1)＝(OB)/(BD1)，(PE)/(BD)＝(OP)/(BD1)，
∴OP=(OB×DD1)/(BD1)=((√(2))/(2)×1)/(√(3))=(√(6))/(6)，
PE=(BD×OP)/(BD1)=(√(2)×(√(6))/(6))/(√(3))=(1)/(3)，
∴三棱锥P-ABC的体积V=(1)/(3)×S△ABC×PE=(1)/(3)×(1)/(2)×12×(1)/(3)=(1)/(18)．
故答案为：(1)/(18)．