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如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABD为正三角形，EB=ED，CB=CD．（1）求证：EC⊥BD；（2）若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BEC．
题目详情
如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABD为正三角形，EB=ED，CB=CD．（1）求证：EC⊥BD；
（2）若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BEC．
▼优质解答
答案和解析
证明：（1）取BD的中点O，连接OE，OC，则
∵EB=ED，CB=CD，
∴BD⊥EO，BD⊥CO，
∵EO∩CO=O，
∴BD⊥平面EOC，
∵EC⊂平面EOC，
∴EC⊥BD；
（2）∵△ABD为正三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB，
∴AB⊥BC，
∴DN∥BC，
∵DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
∴DN∥平面BEC；
∵M，N分别为线段AE，AB的中点，
∴MN∥BE，
∵MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
∵DN∩MN=N，
∴平面DMN∥平面BEC．
证明：（1）取BD的中点O，连接OE，OC，则∵EB=ED，CB=CD，
∴BD⊥EO，BD⊥CO，
∵EO∩CO=O，
∴BD⊥平面EOC，
∵EC⊂平面EOC，
∴EC⊥BD；
（2）∵△ABD为正三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB，
∴AB⊥BC，
∴DN∥BC，
∵DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
∴DN∥平面BEC；
∵M，N分别为线段AE，AB的中点，
∴MN∥BE，
∵MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
∴MN∥平面BEC；
∵DN∩MN=N，
∴平面DMN∥平面BEC．
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