已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于（）A．223B．73C．63D．53

Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC₁与底面ABC所成角的余弦值等于（　　）

A．(2√(2))/(3)
B．(√(7))/(3)
C．(√(6))/(3)
D．(√(5))/(3)

Answer 1

设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都等于a，如图，
则AO=(AB)/(2sin60°)=(a)/(√(3))，
又cos∠A₁AC=(AO)/(AA1)×cos30°=(1)/(2)，
∴∠A₁AC=60°，∠AA₁C=120°，
在菱形ACC₁A₁中，AC₁=√(3)a，
又点C₁到底面ABC的距离等于点A₁到底面ABC的距离A₁O=√(a2−((a)/(√(3)))2)=(√(6))/(3)a，
∴AC₁与底面ABC所成角的正弦值为((√(6)a)/(3))/(√(3)a)=(√(2))/(3)，
∴AC₁与底面ABC所成角的余弦值为(√(7))/(3)．
故选B．