如图三棱柱中，侧棱与底面成角，⊥底面于，⊥侧面于，且⊥，，，则顶点到棱的距离是．

Question

如图三棱柱 中，侧棱 与底面成 角， ⊥底面 于 ， ⊥侧面 于 ，且 ⊥ ， ， ， 则顶点 到棱 的距离是__________．

Answer 1

如图三棱柱 中，侧棱 与底面成 角， ⊥底面 于 ， ⊥侧面 于 ，且 ⊥ ， ， ， 则顶点 到棱 的距离是__________．

取B ₁ C ₁ 的中点D，连接A ₁ D，PD，先证A、P、D、Q四点共圆，根据余弦定理求出PQ，再根据正弦定理求出直径AD，最后证明AD为顶点A到棱B ₁ C ₁ 的距离，即可得到结论．
取B ₁ C ₁ 的中点D，连接A ₁ D，PD
∵侧棱BB ₁ 与底面成60°，A ₁ A∥BB ₁
∴∠AA ₁ D=60°
而AQ⊥底面A ₁ B ₁ C ₁ 于Q，AP⊥侧面BCC ₁ B ₁ 于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四点共圆
则AD为圆的直径
根据余弦定理可知PQ= 再根据正弦定理可知2R=
∵B ₁ C ₁ ⊥面AQD，AD?面AQD
∴B ₁ C ₁ ⊥AD
则AD为顶点A到棱B ₁ C ₁ 的距离
∴顶点A到棱B ₁ C ₁ 的距离为
故答案为：