如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=3，AA1=6，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1．（Ⅰ）求证：AM⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABM的距

Question

如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=√(3)，AA₁=√(6)，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
易知面ACC₁A₁⊥面ABC，∵∠ACB=90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁
∵AM⊆面ACC₁A₁，∴BC⊥AM．∵AM⊥BA₁，
且BC∩BA₁=B，∴AM⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）设AM与A₁C的交点为O，连接BO，
由（Ⅰ）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角．
在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠AA₁C=∠MAC．∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC．∴AC²=MC•AA₁．
∴MC=(√(6))/(2)．
∴在Rt△ACM中，AM=(3√(2))/(2)．
∵(1)/(2)AC•MC＝(1)/(2)AM•CO，
∴CO=1．
∴在Rt△BCO中，tan∠BOC=(BC)/(CO)=1．
∴∠BOC=45°，故所求二面角的大小为45°．
（Ⅲ）在ABC中，作CD⊥AB于D，连接DM，则AB⊥面MCD，AB⊂面MAB，
∴面MAB面⊥面MCD且交线为MD，
在△MCD中，作CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离．
∵MC=(√(6))/(2)，CD=(√(3))/(2)，∴由勾股定理得MD=(3)/(2)，
利用等面积法：MD×CO=MC×CD，∴CO=(√(2))/(2)，即点C到平面ABM的距离是(√(2))/(2)．