如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是正三角形,且与底面垂直,E,F分别为PD,PA的中点,求多面体ABCDEF的体积.

Question

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是正三角形,且与底面垂直,E,F分别为PD,PA的中点,求多面体ABCDEF的体积.

Answer 1

这个不难计算：
首先因为四边形ABCD为正方形,且边长为2.
可得AB=BC=CD=DA=2
又因为△PAB为正三角形
所以AB=PA=PB=2
点E、F分别为PD、PA中点,且△PAB垂直于四方形ABCD
所以在△PAD中,PA垂直于DA,PD=2√2
连接EF,则EF平行于DA
可得PF=AF=1,PE=DE=√2
这是我们要计算四棱锥的体积,可以把它假想成一个底面为正三角形△PAB的三棱柱,如图
 将他一分为二（红色）,刚好是三棱柱体积的一半,做点I、J；再用面PCD将它再去掉三棱锥C-BEI
连接BF、CE、CI,其中BF垂直于PA,CI垂直于DJ
现在来计算三棱锥C-BEI的体积：
EF=1/2DA=1,IF=DA=2,所以EI=1,
又AF=DI=1,所以底面积S1=1/2EI×ID=1/2×1×1=1/2
三棱锥V1=1/3S×CI=1/3×1/2×√3=1/6√3
所以六面体ABCDEF的体积V=1/2(1/2PA×FB×DA)-V1=1/2(1/2×2×√3×2)- 1/6√3=5/6√3